卷四十六 志二十一

分类:古典名著|作者:赵尔巽|发布时间:2016-09-01 22:45:01|

◎时宪二

  △推步算术

  推步新法所用者,曰平三角形,曰弧三角形,曰橢圆形。今撮其大旨,证立法之原,验用数之实,都为一十六术,著於篇。

  平三角形者,三直线相遇而成。其线为边,两线所夹空处为角。有正角,当全圆四分之一,如甲乙丙形之甲角。有锐角,不足四分之一,如乙、丙两角。有钝角,过四分之一,如丁戊己形之戊角。图形尚无资料

  角之度无论多寡,皆有其相当之八线。曰正弦、正矢、正割、正切,所有度与九十度相减馀度之四线也,如甲乙为本度,则丙乙为馀度。正弦乙戊,正矢甲戊,正割庚丁,正切庚甲,馀弦乙己,馀矢丙己,馀割辛丁,馀切辛丙。若壬癸为本度,则丑癸为馀度,正弦癸辰,正矢壬辰,馀弦癸卯,馀矢丑卯,馀割子寅,馀切丑寅。以壬癸过九十度无正割、正切,借癸午之子未为正割,午未为正切。若正九十度丑壬为本度,则无馀度,丑子半径为正弦,壬子半径为正矢,亦无正割、正切,并无馀弦、馀矢、馀割、馀切。

  古定全圆周为三百六十度,四分之一称一象限,为九十度。每度六十分,每分六十秒,每秒六十微。圆半径为十万,后改千万。逐度逐分求其八线,备列於表。推算三角,在九十度内,欲用某度某线,就表取之,算得某线。欲知某度,就表对之。过九十度者,欲用正弦、正割、正切及四馀,以其度与半周相减馀,就表取之。欲用正矢,取馀弦加半径为之。既得某线,欲知某度,就表对得其度与半周相减馀命之。

  图形尚无资料

  算平三角凡五术:

  一曰对边求对角,以所知边为一率,对角正弦为二率,所知又一边为三率,二三相乘,一率除之,求得四率,为所不知之对角正弦。如图甲乙为所知边,丁角为所知对角,乙丁为所知又一边,甲角为所不知对角也。此其理系两次比例省为一次。如图乙丁为半径之比,乙丙为丁角正弦之比。法当先以半径为一率,丁角正弦为二率,乙丁为三率,求得四率中垂线乙丙。既得乙丙,甲乙为半径之比,乙丙又为甲角正弦之比。乃以甲乙为一率,乙丙为二率,半径为三率,求得四率,自为甲角正弦。然后合而算之,以先之一率半径与后之一率甲乙相乘为共一率,先之二率丁角正弦与后之二率乙丙相乘为共二率,先之三率乙丁与后之三率半径相乘为共三率,求得四率,自为先之四率乙丙与后之四率甲角正弦相乘数,仍当以乙丙除之,乃得甲角正弦。后既当除,不如先之勿乘。共二率内之乙丙与三率相乘者也,乘除相报,乙丙宜省。又共三率内之半径与二率相乘者也,共一率内之半径又主除之,乘除相报,半径又宜省。故径以甲乙为一率,丁角正弦为二率,乙丁为三率,求得四率,为甲角正弦。

  二曰对角求对边,以所知角正弦为一率,对边为二率,所知又一角正弦为三率,求得四率,为所不知对边。此其理具对边求对角,反观自明。

  三曰两边夹一角求不知之二角,以所知角旁两边相加为一率,相减馀为二率,所知角与半周相减,馀为外角,半之,取其正切为三率,求得四率,为半较角正切。对表得度,与半外角相加,为对所知角旁略大边之角;相减,馀为对所知角旁略小边之角。此其理一在平三角形。三角相并,必共成半周。如图甲乙丙形,中垂线甲丁,分为两正角形。正角为长方之半,长方四角皆正九十度,正角形两锐角斜剖长方,此角过九十度之半几何,彼角不足九十度之半亦几何,一线径过,其势然也。故甲右边分角必与乙角合为九十度,甲左边分角必与丙角合为九十度。论正角形各加丁角,皆成半周,合为锐角形。除去丁角,三角合亦自为半周。故既知一角之外,其馀二角虽不知各得几何度分,必知其共得此角减半周之馀也。一在三角同式形比例。如图丙庚戊形,知丙庚、丙戊两边及丙角。展丙庚为丙甲,连丙戊为甲戊,两边相加。截丙戊於丙丁,为戊丁,两边相减馀。作庚丁虚线,丙庚、丙丁同长,庚丁向圆内二角必同度,是皆为丙角之半外角,与甲辛、辛庚之度等。而庚向圆外之角,即本形庚角大於戊角之半,是为半外角。以庚丁为半径之比,则甲庚即为丁半外角正切之比。半径与正切恒为正角,甲庚与庚丁圆内作两通弦,亦无不成正角故也。又作丁己线,与甲庚平行,庚丁仍为半径之比,丁己又为庚向圆外半较角正切之比。而戊甲庚大形与戊丁己小形,戊甲、戊丁既在一线,甲庚、丁己又系平行,自然同式。故甲戊两边相加为一率,戊丁两边相减馀为二率,甲庚半外角正切为三率,求得四率,自当丁己半较角正切也。

  四曰两角夹一边求不知之一角,以所知两角相并,与半周相减,馀即得。此其理具两边夹一角。

  五曰三边求角,以大边为底,中、小二边相并相减,两数相乘,大边除之,得数与大边相加折半为分底大边,相减馀折半为分底小边。乃以中边为一率,分底大边为二率,半径为三率,求得四率,为对小边角馀弦。或以小边为一率,分底小边为二率,半径为三率,求得四率,为对中边角馀弦。此其理在勾股弦幂相求及两方幂相较。如图甲丙中边、甲乙小边皆为弦,乙丙大边由丁分之,丁丙、丁乙皆为勾,中垂线甲丁为股。勾股幂相并恒为弦幂,今甲丁股既两形所同,则甲丙大弦幂多於甲乙小弦幂,即同丙丁大勾幂多於乙丁小勾幂。又两方幂相较,恒如两方根和较相乘之数。如图戊寅壬庚为大方幂,减去己卯辛庚小方幂,馀戊己卯辛壬寅曲矩形。移卯癸壬辛为癸寅丑子,成一直方形,其长戊丑,自为大方根戊寅、小方根卯辛之和;其阔戊己,自为大方根戊庚、小方根己庚之较。故甲乙丙形,甲丙、甲乙相加为和,相减为较。两数相乘,即如丙丁、丁乙和较相乘之数。丙乙除之,自得其较。丙午相加相减各折半,自得丙丁及乙丁,既得丙丁、乙丁,各以丙甲、乙甲为半径之比,丙丁、乙丁自为馀弦之比矣。

  此五术者,有四不待算,一不可算。对边求对角,令所知两边相等,则所求角与所知角必相等。对角求对边,令所知两角相等,则所求边与所知边必相等。两边夹一角,令所知两边相等,则所求二角必正得所知外角之半。三边求角,令二边相等,即分不等者之半为底边;三边相等,即平分半周三角皆六十度,皆不待算也。若对边求对角,所知一边数少,对所知一角锐;又所知一边数多,求所对之角,不能知其为锐、为钝,是不可算也。诸题求边角未尽者,互按得之。

  弧三角形者,三圆周相遇而成,其边亦以度计。九十度为足,少於九十度为小,过九十度为大。其角锐、钝、正与平三角等。算术有七:

  一曰对边求对角,以所知边正弦为一率,对角正弦为二率,所知又一边正弦为三率,求得四率,为所求对角正弦。此其理亦系两次比例省为一次。如图甲乙丙形,知甲乙、丙乙二边及丙角,求甲角。作乙辛垂弧,半径与丙角正弦之比,同於乙丙正弦与乙辛正弦之比。法当以半径为一率,丙角正弦为二率,乙丙正弦为三率,求得四率,为乙辛正弦。既得乙辛正弦,甲乙正弦与乙辛正弦之比,同於半径与甲角正弦之比。乃以甲乙正弦为一率,乙辛正弦为二率,半径为三率,求得四率,为甲角正弦。然乘除相报,可省省之。

  二曰对角求对边,以所知角正弦为一率,对边正弦为二率,所知又一角正弦为三率,求得四率,为所求对边正弦。此其理反观自明。

  三曰两边夹一角,或锐或钝,求不知之一边。以半径为一率,所知角馀弦为二率,任以所知一边正切为三率,求得四率,命为正切。对表得度,与所知又一边相减,馀为分边。乃以前得度馀弦为一率,先用边馀弦为二率,分边馀弦为三率,求得四率,为不知之边馀弦。原角钝,分边大,此边小;分边小,此边大。原角锐,分边小,此边小;分边大,此边大。此其理系三次比例省为二次。如图甲丙丁形,知甲丙、甲丁二边及甲角,中作垂弧丙乙,半径与甲角馀弦之比,同於甲丙正切与甲乙正切之比。先一算为易明。既分甲丁於乙,而得丁乙分边,甲乙馀弦与半径之比,同於甲丙馀弦与丙乙馀弦之比。法当先以甲乙馀弦为一率,半径为二率,甲丙馀弦为三率,求得四率,为丙乙馀弦。既得丙乙馀弦,半径与乙丁馀弦之比,同於丙乙馀弦与丁丙馀弦之比。乃以半径为一率,乙丁馀弦为二率,丙乙馀弦为三率,求得四率,为丁丙馀弦。然而乘除相报,故从省。两边夹一角若正,则径以所知两边馀弦相乘半径除之,即得不知边之馀弦,理自明也。所知两边俱大俱小,此边小;所知两边一小一大,此边大。

  四曰两角夹一边,求不知之一角。以角为边,以边为角,反求之;得度,反取之;求、取皆与半周相减。

  五曰所知两边对所知两角,或锐、或钝,求不知之边角。以半径为一率,任以所知一角之馀弦为二率,对所知又一角之边正切为三率,求得四率,命为正切,对表得度。复以所知又一角、一边如法求之,复得度。视原所知两角锐、钝相同,则两得度相加;不同,则两得度相减;皆加减为不知之边。乃按第一术对边求对角,即得不知之角。原又一角钝,对先用角之边大於后得度,此角钝;对先用角之边小於后得度,此角锐。原又一角锐,对先用角之边小於后得度,此角钝;对先用角之边大於后得度,此角锐。此其理系垂弧在形内与在形外之不同,及角分锐钝,边殊大小,前后左右俯仰向背之相应。如图甲乙丙形,甲乙二角俱锐,两锐相向,故垂弧丙丁,从中取正,而在形内。己丙庚形,己庚二角俱钝,两钝相向,故垂弧戊丙亦在形内。庚丙乙形,庚乙两角,一锐一钝相违,垂弧丙丁,从外补正,自在形外。在形内者判底边为二,两得分边之度,如乙丁、丁甲,合而成一底边如乙甲,故宜相加。在形外者,引底边之馀,两得分边之度,如庚丁、乙丁,重而不揜,底边如庚乙,故宜相减。锐钝大小之相应,亦如右图审之。所知两边对所知两角有一正,则一得度即为不知之边,理亦自明。

  六曰三边求角,以所求角旁两边正弦相乘为一率,半径自乘为二率,两边相减馀为较弧,取其正矢与对边之正矢相减馀为三率,求得四率,为所求角正矢。此其理在两次比例省为一次。如图甲壬乙形,求甲角,其正矢为丑丁。法当以甲乙边正弦乙丙为一率,半径乙己为二率,两边较弧正矢乙癸与对边正矢乙卯相减馀癸卯同辛子为三率,求得四率为壬辛。乃以甲壬边正弦戊辛为一率,壬辛为二率,半径己丁为三率,求得四率为丑丁。甲角正矢亦以乘除相报,故从省焉。

  七曰三角或锐、或钝求边,以角为边,反求其角;既得角,复取为边;求、取皆与半周相减。此其理在次形,如图甲乙丙形,甲角之度为丁戊,与半周相减为戊己,其度必同於次形子辛午之子辛边,盖丑卯为乙之角度丑点之交,甲乙弧必为正角,丁戊为甲之角度戊点之交,甲乙弧亦必为正角。以一甲乙而交丑辛、戊辛二弧皆成正角,则二弧必皆九十度,弧三角之势如此也。戊辛既九十度,子己亦九十度,去相覆之戊子,己戊自同子辛,於是庚癸必同子午,卯未必同午辛,理皆如是矣。而此形之馀角既皆为彼形之边,彼形馀角不得不为此形之边,故反取之而得焉。若三角有一正,除正角外,以一角之正弦为一率,又一角之馀弦为二率,半径为三率,求得四率,为对又一角之边馀弦。此其理亦系次形,而以正角及一角为次形之角,以又一角加减象限为次形对角之边,取象稍异。

  凡兹七术,惟边角相求,有锐钝、大小不能定者,然推步无其题,不备列。此七题中求边角有未尽者,互按得之。

  橢圆形者,两端径长、两腰径短之圆面。然必其应规,乃可推算。作之之术,任以两点各为心,一点为界,各用一针钉之,围以丝线,末以铅笔代为界之。针引而旋转,即成橢圆形。如图甲己午三点,如法作之,为丑午巳未橢圆,寅丑、寅巳为大半径,寅午、寅未为小半径,寅甲为两心差,己甲为倍两心差。甲午数如寅巳,亦同寅丑,己午如之;二数相和,恒与丑巳同。令午针引至申,甲申、申己长短虽殊,共数不易。甲午同大半径之数如弦,两心差如勾,小半径如股,但知两数,即可以勾股术得不知之一数。若求面积,以平方面率四00000000为一率,平圆面率三一四一五九二六五为二率,大小径相乘成长方面为三率,求得四率为橢圆面积。若求中率半径,大小半径相乘,平方开之即得。然自甲心出线,离丑右旋,如图至戌,甲丑、甲戌之间,有所割之面积,亦有所当之角度。

  角积相求,爰有四术:

  一曰以角求积,以半径为一率,所知角度正弦为二率,倍两心差为三率,求得四率为倍两心差之端,垂线如己酉。又以半径为一率,所知角度馀弦为二率,倍两心差为三率,求得四率为界度积线,引出之线如甲酉,倍两心差之端垂线为勾自乘。以引出之线,与甲戌、己戌和如巳丑大径者相加为股弦和,除之得较。和、较相加折半为己戌弦,与大径相减为甲戌线。又以半径为一率,所知角正弦为二率,甲戌线为三率,求得四率为戌亥边。又以小径为一率,大径为二率,戌亥边为三率,求得四率为辰亥边。又以大半径寅辰同寅丑为一率,半径为二率,辰亥边为三率,求得四率为正弦,对表得度。又以半周天一百八十度化秒为一率,半圆周三一四一五九二六为二率,所得度化秒为三率,求得四率为比例弧线。又以半径为一率,大半径为二率,比例弧线为三率,求得四率为辰丑弧线,与大半径相乘折半,为寅辰丑分平圆面积。又以大半径为一率,小半径为二率,分平圆面积为三率,求得四率为寅戌丑分橢圆面积。乃以寅甲两心差与戌亥边相乘折半,与寅戌丑相减,为甲戌、甲丑之间所割面积。此其理具本图及平三角、弧三角,其法至密。

  二曰以积求角,以两心差减大半径馀得甲丑线自乘为一率,中率半径自乘为二率,甲戌、甲丑之间面积为三率,求得四率为中率面积,如甲氐亢。分橢圆面积为三百六十度,取一度之面积为法除之,即得甲戌、甲丑之间所夹角度,此其理为同式形比例。然甲亢与甲氐同长,甲戌则长於甲丑,以所差不多,借为同数。若引戌至心,甲丑甲心所差实多,仍须用前法求甲戌线,借甲戌甲心相近为同数求之。

  三曰借积求积,以所知面积,如图之辛甲丑,用一度之面积为法除之,得面积之度。设其度为角度,於倍两心差之端如庚己丑。以半径为一率,己角正弦为二率,倍两心差为三率,求得四率为甲子垂线。又以半径为一率,己角馀弦为二率,倍两心差为三率,求得四率为己子分边。甲子为勾自乘,己子与大径相减馀为股弦和,除之得股弦较。和、较相加折半得甲庚线。又以甲庚线为一率,甲子垂线为二率,半径为三率,求得四率为庚角正弦,得度与己角相加为庚甲丑角。乃用以角求积法,求得庚甲丑面积,与辛甲丑面积相减馀如庚甲辛,又用以积求角法,求得度,与庚甲丑角相加,即得辛甲丑角。

  四曰借角求角,以所知面积如前法取为积度,如丑甲丁。设其度为角度,於橢圆心如丁乙辛。以小半径为一率,大半径为二率,所设角度正切为三率,求得四率为丁乙癸角正切。对表得度,乃於倍两心差之端丙作丙丑线,即命丑丙甲角如癸乙丁之角度,乃将丙丑线引长至寅,使丑寅与甲丑等,则丙寅同大径。又作甲寅线,成甲寅丙三角形,用切线分外角法求得寅角,倍之为甲丙丑形之丑角,与丙角相加为丑甲丁角。此其理癸乙甲角度多於丑甲丁积度,为子乙癸角度。即以此度当前之补算辛甲庚者,盖所差无多也。

  此四术内凡单言半径者,皆八线表一千万之数。图形尚无资料