卷五百七 列传二百九十四

分类:古典名著|作者:赵尔巽|发布时间:2017-06-28 22:08:11|

◎畴人二

  李潢 汪莱 陈杰丁兆庆 张福僖 时曰淳 李锐黎应南 骆腾凤项名达王大有 丁取忠李锡蕃 谢家禾 吴嘉善 罗士琳易之瀚顾观光韩应陛 左潜曾纪鸿 夏鸾翔 邹伯奇 李善兰 华衡芳弟世芳

  李潢,字云门,锺祥人。乾隆三十六年进士,由翰林官至工部左侍郎。博综群书,尤精算学,推步律吕,俱臻微妙。著九章算术细草图说九卷,附海岛算经一卷,共十卷。

  其自序重差图云:“图九,望远,海岛旧有图解,馀八图今所补也。同式形两两相比,所作四率,二三率相乘,与一四率相乘同积。如欲作图明之,第取一三率联为一边,又取二四率联为一边,作相乘长方图之,自然分为四幂。又以斜弦界为同式句股形各二,则形势验矣。旧图於形外别作同积二方,至两形相去辽远者,又必宛转通之,皆可不必也。图中以四边形、五边形立说,似与句股不类,然於本形外补作句股形,则亦句股也。四率比例法,在九章粟米谓之今有,一为所有率,二为所求率,三为所有数,四为所求数,在句股则统目之为率。刘氏注云:‘句率股率,见句见股者是也。’今祗云同式相比者,取省易耳,异乘同除则一也。”书甫写定,潢即病。俟吴门沈钦裴算校,方可付梓。越八年,其甥程矞采家为之校刊,以成其志。

  九章初经东原戴氏从永乐大典中录出,一刻於曲阜孔氏,再刻於常熟屈氏,悉依戴氏原校本刊刻。其时古籍甫显,校订较难,不无间有扞格,自是天下之习九章者,莫不家弆一编,奉为圭臬。而刘徽九章亦从此有善本矣。潢又尝因古算经十书中,九章之外最著者,莫如王孝通之辑古。唐制开科取士,独辑古四条限以三年,诚以是书隐奥难通。世所传之长塘鲍氏、曲阜孔氏、罗江李氏各刻本,又悉依汲古阁毛影宋本,祗有原术文而未详其法,且复传写脱误。虽经阳城张氏以天元一术推演细草,但天元一术创自宋、元时人,究在王氏后,似非此书本旨。爰本九章古义,为之校正,凡其误者纠之,阙者补之,著考注二卷。以明斜袤广狭割截附带分并虚实之原,务如其术乃止。稿未成,潢殁后,为南丰刘衡授其乡人,以西士开方法增补算草,并附图解,刻於江西省中,喧宾夺主,殊乱其真。矞采取江西刻本削去图草,仍以原考注刊布。

  武进李兆洛为之序,曰:“辑古何为而作也?盖阐少广、商功之蕴而加精焉者也。商功之法,广袤相乘,又以高若深乘之为立积,今转以积与差求广袤高深,所求之数,最小数也。曷为以最小数为所求数?曰,求大数,则实方廉隅,正负杂糅。求小数,则实常为负,方廉隅常为正也。观台羡道,筑堤穿河,方仓圆囤,刍甍输粟,其形不一,概以从开立方除之何也?曰,一以贯之之理也。物生而后有象,象而后有滋,滋而后有数。斜解立方,得两巉堵,一为阳马,一为鳖臑。阳马居二,鳖臑居一,不易之率也。今於平地之馀续狭斜之法,无论为巉堵、为阳马、为鳖臑,皆作立积。观其立积内不以所求数乘者为减积,以所求数一乘者为方法,再乘者为廉法,所求数再自乘为立方,即隅法也。从开立方除之,得所求数。若绘图於纸,令广袤相乘,以所求数从横截之。剖平幂为若干段,又以截高与所求数乘之。分立积为若干段,若者为减积,若者为方,若者为廉,若者为隅,条段分明,历历可指。作者之意,不烦言而解矣。其云廉母自乘为方母,廉母乘方母为实母者之分,开方之要术也。先生於是书立法之根,如锯解木,如锥划地,又复补正脱误,条理秩然,信王氏之功臣矣!爰述大旨,以告世之习是书者,无复苦其难读云。”

  汪莱,字孝婴,号衡斋,歙县人。年十五,补博士弟子。弱冠后,读书於吴葑门外,慕其乡江文学永、戴庶常震、金殿撰榜、程徵君易畴学,力通经史百家及推步历算之术。嘉庆十二年,以优贡生入都,考取八旗官学教习,会御史徐国楠奏请续修天文、时宪二志,经大学士首举莱与徐准宜、许沄入馆纂修。十四年,书成。议叙,以本班教职用,选授石埭县训导。十八年,应省试,得疾归,卒於官,年四十有六。先是十一年夏,黄河启放王营减坝,正溜直注张家河,会六塘河归海。两江督臣奉上命,查量云梯关外旧海口与六塘河新海口地势高下,延莱测算,盖其精算之名,久为官卿所知。曾制浑天、简平、一方各仪器观测。

  与郡人巴树穀最友善,客江、淮间,又与焦孝廉循、江上舍藩、李秀才锐,辩论宋秦九韶、元李冶立天元一及正、负开方诸法。天性敏绝,极能攻坚,不肯苟於著述。凡所言,皆人所未言,与夫人所不能言。

  尝以古书八线之制,终於三分取一,用益实归除法求之,其一表之真数,仅得十之二。因悟得五分之一通弦与五分之三通弦交错为三角形,比例立法,以取五分之一之通弦,而弦切之数益密。梅氏环中黍尺,有以量代算之术,惟求倚平仪外周之两角,而缩於内半周之角未详。其法较易,因立新术,量取不倚外周之角度,而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三角、尖堆积法,不及三乘方以上,又复推而广之,自三乘、四乘以上之尖堆,皆可由根知积。并及诸物递兼之法,以补古九章所未备。

  又纠正梅文穆公句股知积术,及指识天元一,正、负开方之可知、不可知。其纠正句股知积术也,文穆赤水遗珍称:“有句股积及股弦和较求句股,向无其术,苦思力索,立法四条。”其门人丁维烈又造减纵翻积开三乘方法,文穆许之。莱谓:“句股形等积、等弦和,带纵立方形等基、等高阔和,皆有两形互易。如句二十,股二十一,弦二十九,句弦和四十九,句股积二百一十。若句十二,股三十五,弦三十七,句弦积亦四十九,句股积亦二百一十。设问者暗执一形,则对者交盲两数。梅、丁诸公法成而不可用,盖两句弦较,与一句弦和,恒为连比例之三率。其两句弦较,即首、末二率;两较减一和之馀,即中率;而句弦和必为三率亻并。遂创立有两积相等、两句弦和相等、求两句股形之法。以四倍句股积自乘,句弦和除之,为带纵长立方积。以句弦和为纵,开得数为两句弦较之中率,自乘为带纵平方积。又以中率与句弦和相减为长阔和,求得长阔两根为两句股较,用求两句股形各数。又同积之边,彼此可互,三次之乘,先后可通,故四倍句股积自乘,即两形之倍句相乘为底,两形之股相乘为高,即犹以中末乘首。中化为中率,再乘为立方三率,亻并为带纵。由是推得立方形两高数恒为首末二率,高阔和恒为三率,亻并数与等积、等弦和之两弦较及弦和丝毫无异。如高九阔十,高阔和十九,立方积九百。若高四阔十五,高阔和亦十九,立方积亦九百,其数莫不由两形相引而出。故其法即命积为带纵长立方积,以高阔和为所带之纵。用带纵长立方法开得本方根,为两形高数之中率。与高阔和相减,馀为带纵之平方长阔和。中率自乘,为带纵平方积。用带纵平方长阔和法开之,得长阔一根,为两形之两高数。两高与和相减,为两阔数。”

  其指识正、负开方也,“元李冶传洞渊九容术,撰测圆海镜、益古演段,以明天元如积相消,其究必用正、负开方,互详於宋秦九韶数学九章。梅文穆公虽指天元一为西人借根方所由来,而正、负开方则未有阐明者。元和李秀才锐特为雠校,谓少广一章,得此始贯於一。好古之士,翕然相从。莱独推其有可知、有不可知。如测圆海镜边股第五问‘圜田求径二百四十步与五百七十六步共数’,而李仁卿专以二百四十为答。数学九章田域第二题‘尖田求积二百四十步与八百四十步共数’,而秦道古专以八百四十为答。乃自二乘方以下,缕析推之,得九十五条。凡几根数为带纵长阔较则可知,为带纵长阔和则不可知。又推得几真数少,几根数又多,几平方与一立方积等多少杂糅,和较莫定。立法以审之,以几平方数用几立方数除之,得数乘几根数,以较几真数。若少於真数,则以几平方为高阔较,是为可知。若多於真数,则或几平方为通分法,三母总数、几真数为三母维乘之共数,几根数为通分之共子,如二、如六、如十二。设真数一百四十四,少二百八,根数多二十,平方积与一立方积相等,则三数皆同,是为不可知。”

  盖以一答为可知,不止一答为不可知。故李秀才锐跋其书,括为三例以证明之。谓:“隅实同名者不可知;隅实异名,而从廉正负不杂者可知;隅实异名,而从廉正负相杂,其从翻而与隅同名者可知,否则不可知。隅实异名,即带纵之长阔较也,较仅一答;隅实同名,即带纵之长阔和也,和则不止一答。”锐以隅实同名、异名,明一答与不止一答;莱以长阔、和较,明可知、不可知,其义一也。著有衡斋算学七册,考定通艺录磬氏倨句解一册。

  陈杰,字静弇,乌程诸生。考取天文生,任钦天监博士,供职时宪科兼天文科,司测量。累官国子监算学助教。道光十九年,谢病归,卒于家。生平邃于算学,尤神明于比例之用。初著辑古算经细草一卷,后十馀年,又为之指画形象,成图解三卷;又博采训诂,考正其传写之舛譌,稽合各本之同异,别成音义一卷。

  其自述比例言有曰:“比例之法,昉自九章,传由西域,在古法曰异乘同除,在西法曰比例等。假如甲有钱四百,易米二斗,问乙有钱六百,易米几何?答曰三斗。法以乙钱为实,甲米乘之,得数,甲钱除之,即得。钱与米异名相乘,与钱同名相除,故谓之异乘同除,此古法也。以甲钱比甲米,若乙钱与乙米。凡言以者一率,言比者二率,言若者三率,言与者四率。二三相乘,一率除之,得四率,此西法也。古法元、明时中土几以失传,不知何时流入西域。明神宗时,西人利玛窦来中国,出其所著算书,中人矜为创获,其实所用皆古法,但异其名色耳。兹以西人名色解王氏,固取其平近,亦以名中、西之合辙也。”

  又有论曰:“二十一史律志无不用比例者,他如九章、缉古、十种算书,多用比例,无如古人总不言比例。如缉古第二问,求均给积尺,欲以本体求又一形之体,忽取两面幂之数,一用以乘,一用以除,而得数。又第九问求员囤,第十问求员窖,忽以周径乘除,即如方亭法求之,诸数悉得。走作图解,审谛久之,而始知为比例,乃明言比例以揭之。嗣是而阅古算书者,罔弗比例矣。”

  又自道光以来,尝亲在观象台督率值班天文生频年实测黄、赤大距为二十三度二十七分,未经奏明,故当时未敢用。迨甲辰岁修仪象考成续编,监臣即取此数上之,而钦定颁行焉。

  晚年所譔为算法大成,上编十卷,首加、减、乘、除,次开方、句股,次比例、八线,次对数,次平三角、弧三角。门分类别,皆先列旧法,而以新法附之,图说理解,不惮反覆详明,

  专为引诱初学设也。下编十卷,则有目无书。其言曰:“算法之用多端,第一至要为治历,故下编言在官之事,先治历,次出师,次工程钱粮,次户口盐司,次堆积丈量;儒者则考据经传,下及商贾庶民,则赀本营运,市廛交易,持家日用,凡事无钜细,各设题为问答,以明算法之用,盖如此之广云。”下编似未成。其门人丁兆庆、张福僖均以算名。

  兆庆,字宝书,归安人。沉潜好学,为项学正两边夹角迳求对角新法图说,谓其讲解明晰,戛戛独造。

  福僖,字南坪,乌程诸生。精究小轮之理,著有慧星考略。

  时曰淳,字清甫,嘉定人。精算术。发明古人术意,无不入微。咸丰末,与长沙丁取忠同客胡林翼幕府,每与商榷数理,见丁氏数学拾遗之百鸡术,谓与二色方程暗合。因为广衍,立二十八题,以“旧学商量加邃密、新知培养转深沉”十四字识其上下,为十四耦。诸题皆借方程为本术,并述大衍求一术以博其趣,作百鸡术衍二卷。

  自序略曰:“张丘建算经鸡翁鸡母题问,甄、李两註及刘孝孙草,皆未达术意,不可通。近焦理堂所释尤误。读吾友丁君果臣数学拾遗,设术与二色方程暗合,乃通法也。骆氏艺游录用大衍求一术,以大小较求中数,取径颇巧,然遇较除共较实適尽者,则不可求。方程术则遇法除实得中数,不尽者以分母与减率相求而齐同之,无不可得。骆氏殆未知有方程本术耳。夫题祗本经一术,算理之微妙,不如孙子不知数一问,而术文各隐秘。彼则但举用数,此亦仅著加减三率,於前半段取数之法皆阙如。岂古人不传之秘,必待学者深思而自得乎?孙子求一术,至宋秦道古发之,独是题袭谬传讹,无借方程以问途者。曰淳蓄疑既久,今年春与果臣连榻鄂城,复一商榷,别后数月乃通之。怡然涣然,了无滞凝,亦穷愁中一快事也。因衍方程术为数学拾遗补,求负数法及加减率求答数法,附述求一术为艺游录补。以中小较求大数法,及大中较、大小较互求得中数、小数法,引伸钩索,温故知新,庶足以大畅厥旨乎!易翁、母、雏为大、中、小,设数不必以百,而统以百鸡命之者,识斯术所自昉也。”

  李锐,字尚之,元和诸生。幼开敏,有过人之资。从书塾中检得算法统宗,心通其义,遂为九章、八线之学。因受经於钱大昕,得中、西异同之奥,於古历尤深。自三统以迄授时,悉能洞澈本原。

  尝谓:“三统,世经称殷术,以元帝初元二年为纪首,是年岁在甲戌。推而上之,一千五百二十岁而岁值甲寅为元首,又上四千五百六十年而岁复甲寅为上元。以此积年,用四分上推,太初元年得至朔同日,而中馀四分日之三,朔馀九百四十分之七百五,故太初术亏四分日之三,去小馀七百五分也。《汉书》载三统而不著太初,其实一月之日,二十九日八十一分日之四十三,是日法、月法与三统同。贾逵称太初术斗二十六度三百八十五分,是统法周天又与三统同。盖四分无异於太初,而太初亦得谓之三统。郑注召诰,周公居摄五年二月三月,当为一月二月,不云正月者,盖待治定制礼,乃正言正月故也。江徵君声、王光禄鸣盛以为据洛诰十二月戊辰逆推之,其说未核。今案郑君精於步算,此破二月三月为一月二月,以纬候入蔀数,推知上推下验,一一符合,不仅检勘一二年间事也。”

  因据诗大明疏,郑注尚书文王受命,武王伐纣时日皆用殷历甲寅元,遂从文王得赤雀受命年起,以乾凿度所载之积年推算,是年入戊午蔀,二十九年岁在戊午,与刘歆所说殷历周公六年始入戊午蔀不同。歆谓文王受命九年而崩,崩后四年武王克殷,后七年而崩,明年周公摄政元年,较郑少一年。又载召诰、洛诰俱摄政七年事,其年二月乙亥朔,三月甲辰朔,十二月戊辰朔,并与郑不合。乃以推算各年及一月二月,排比干支,分次上下,著召诰日名考,此融会古历以发明经术者也。

  当是时,大昕为当代通儒第一,生平未尝亲许人,独於锐则以为胜己。大昕尝以太乙统宗宝鉴求积年术日法一万五百岁,实三百八十三万五千四十八分二十五秒为疑。锐据宋同州王湜易学,谓每年於三百六十五日二千四百四十分之外,有终於五分者,有终於六分者,有终於五六分之间者。终於五分者,五代王朴钦天历是也,以七千二百为日法。终於六分者,近年万分历是也,以一万分为日法。终於五六分之间者,景祐历法载於太乙遁甲中是也,以一万五百分为日法,此暗用授时法也。试以日法为一率,岁实为二率,授时日法一万为三率,推四率,得三百六十五万二千四百二十五分,即授时之岁实也。探本穷源,一言破的。

  近世历算之学,首推吴江王氏锡阐、宣城梅氏文鼎,嗣则休宁戴氏震亦号名家。王氏谓土盘历元在唐武德年间,非开皇己未;梅氏谓回回历实用洪武甲子为元,而讬之於开皇己未。其算宫分,虽以开皇己未为元,其查立成之根,则在己未元后二十四年,二说并同。

  戴氏谓回回历百二十八年闰三十一日,是每岁三百六十五日之外,又馀百二十八分日之三十一也。以万万乘三十一,满百二十八而一,得二千四百二十一万八千七百五十,地谷所定岁实三百六十五日二十三刻三分四十五秒,通分内子以万万乘之,满日法而一,亦得二千四百二十一万八千七百五十,与梅氏疑问所云合。是三家所论,未尝不确知灼见,然均未得其详。锐据明史历志、回回本术,参以近年瞻礼单,精加考核,谓回回历有太阳年,彼中谓为宫分;有太阴年,彼中谓为月分。宫分有宫分之元,则开皇己未是也;月分有月分之元,则唐武德壬午是也。自开皇己未至洪武甲子,积宫分年七百八十六,自武德壬午至洪武甲子,积月分年亦七百八十六,其惑人者即此两积年相等耳,因著回回历元考。有求宫分白羊一日入月分截元后积年月日法,以为不明乎此,虽有立成,不能入算也。稿佚未刊。

  梅氏未见古九章,其所著方程论,率皆以臆创补,然又囿於西学,致悖直除之旨。锐寻究古义,探索本根,变通简捷,以旧术列於前,别立新术附於后,著方程新术草,以期古法共明於世。古无天元一术,其始见於元李冶测圆海镜、益古演段二书,元郭守敬用之,以造授时历草,而明学士顾应祥不解其旨,妄删细草,遂致是法失传。自梅文穆悟其即西法之借根方,於是李书乃得郑重於世。其有原术不通,别设新术数则,更於梅说外辨得天元之相消,有减无加,与借根方之两边加减法少有不同。

  且不满顾氏所著之句股、弧矢两算术,谓:“弧矢肇於九章方田,北宋沈括以两矢幂求弧背,元李冶用三乘方取矢度,引伸触类,厥法綦详。顾氏如积未明,开方徒衍,不亦傎乎?”爰取弧矢十三术,入以天元,著弧矢算术细草。并仿演段例,括句股和较六十馀术,著句股算术细草,以导习天元者之先路。

  又从同里顾千里处得秦九韶数学九章,见其亦有天元一之名,而其术则置奇於右上,定於右下,立天元一於左上。先以右上除右下,所得商数与左上相生,入於左下。依次上下相生,至右上末后奇一而止,乃验左上所得以为乘率。与李书立天元一於太极上,如积求之,得寄左数与同数相消之法不同。因知秦书乃大衍求一中之又一天元,秦与李虽同时,而宋元则南北隔绝,两家之术,无缘流通,盖各有所授也。

  锐尝谓:“四时成岁,首载虞书,五纪明历,见於洪范。历学诚致治之要,为政之本。乃通典、通考置而不录,邢云路虽撰古今律历考,然徒援经史,以侈卷帙之多。梅氏祗有欲撰历法通考之议,卒未成书。因更网罗诸史,由黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁六历,下逮元、明数十馀家,一一阐明义蕴,存者表而章之,缺者考而订之,著为司天通志,俾读史者启其扃,治历者益其智。”惜仅成四分、三统、乾象、奉天、占天五术注而已。馀与开方说皆属稿未全。

  开方说三卷,锐读秦氏书,见其於超步、退商、正负、加减、借一为隅诸法,颇得古九章少广之遗,较梅氏少广拾遗之无方廉者,不可以道里计。盖梅氏本於同文算指、西镜录二书,究出自西法,初不知立方以上无不带从之方。锐因秦法推广详明,以著其说。甫及上、中二卷而卒,年四十有五。其下卷则弟子黎应南续成之。

  应南,字见山,号斗一,广东顺德人。嘉庆戊寅顺天经魁,以书馆议叙,选浙江丽水县知县,调平阳县知县。海疆俸满,加六品衔,卒於官。

  骆腾凤,字鸣冈,山阳人。嘉庆六年举人,道光六年,大挑一等,用知县。以母老不原仕,改授舒城县训导。未一年,告养归,教授里中,学徒甚众。二十二年八月,卒於家,年七十有二。性敏锐,好读书,尤精畴人术。在都中从锺祥李潢学,研精覃思,寒暑靡间。

  著开方释例四卷,自序略谓:“天元一术,见宋秦九韶大衍数中,不言创於何人。元李冶测圆海镜、益古演段二书,亦用此例。冶称其术出於洞渊九容,今不可详所自矣。是书自平方以至多乘,悉用一术,即刍童、羡馀诸形,亦可握觚而得,洵算术之秘钥也。西法借根方实原於此,乃以多少代正负,徒欲掩其袭取之迹。不知正负以别异同,多少以分盈朒,毫釐千里,必有能辨之者。”

  又著游艺录二卷,自识云:“余於正、负开方之例,既为释例以明其法矣。至於衰分方程、句股等法,以及九章所未载,与夫古今算术之未能该洽者,辄为溯其源,正其误。不敢掠前哲之美以为名,亦不为黯黮之词以欺世也。随所见而识之,汇为一编。”遗稿凡十馀万言,即今传本也。

  南汇张文虎尝与青浦熊户部其光书论之曰:“承示骆司训算书二种,读竟奉缴。李四香开方说,详於超步、商除、翻积、益积诸例,而不言立法之根,令初学者茫不解其所谓。骆氏於诸乘方、方廉、和较、加减之理,皆质言之,而推求各元进退、定商诸术,尤足补李书所未备,诚学开方者之金锁匙。汪孝婴创设两句股同积同句股和一问,以两句弦较中率转求两句弦较,立术迂回。骆氏以正、负开方径求得两句,颇为简易。衡斋亦当首肯也。”其为人所推服如此。

  项名达,字梅侣,仁和人。嘉庆二十一年举人,考授国子监学正。道光六年,成进士,改官知县,不就,退而专攻算学。三十年,卒于家,年六十有二。著述甚富,今传世者,但有下学庵句股六术及图解,复附句股形边角相求法三十二题,合为一卷。以句股和较相求诸题术稍繁难,爰取旧术稍为变通。分术为六,使题之相同者通为一术,釐然悉有以御之。第一、二、三术及第四术之前二题,悉本旧解,馀为更定新术,皆别注捷法,各为图解,以明其意。第四、五、六术其原皆出於第三术,可释之以比例。第三术以句弦较比股,若股与句弦和,以股弦较比句,若句与股弦和,是为三率连比例。凡有比例加减之,其和较亦可互相比例。故第四、五、六术诸题,皆可由第三术之题加减而得,即可因第三术之比例而另生比例。因比例以成同积,而诸术开方之所以然遂明。名达又创有弧三角总较术,求橢员弧线术,术定,未有诠释,以义奥趣幽,难猝竟事,故六术独先成云。

  名达与乌程陈杰、钱塘戴煦契最深,晚年诣益精进,谓古法无用,不甚涉猎,而专意于平弧三角,与杰意不谋而合。与杰论平三角,名达曰:“平三角二边夹一角,迳求斜角对边,向无其法,窃尝拟而得之,君闻之乎?”杰曰:“未也。”录其法以归。盖以甲乙边自乘与甲丙边自乘相加,得数寄左;乃以半径为一率,甲角馀弦为二率,甲乙、甲丙两边相乘倍之为三率,求得四率,与寄左数相减,钝角则相加,平方开之,得数即乙丙边。

  又尝谓泰西杜德美之割圜九术,理精法妙,其原本于三角堆,董方立定四术以明之,洵为卓见。惟求倍分弧,有奇无偶,徐有壬补之,庶几详备。名达尝玩三角堆,叹其数祗一递加,而理法象数,包蕴无穷,夫方圜之率不相通,通方圜者必以尖,句股,尖象也;三角堆,尖数也。古法用半径屡求句股得圜周,不胜其繁。杜氏则以三角堆御连比例诸率,而弧弦可以互通,割圜术蔑以加矣。然以此制八线全表,每求一数,必乘除两次,所用弧线,位多而乘不便,董、徐二氏大、小弧相求法亦然。向思别立简易法,因从三角堆整数中推出零数,但用半径,即可任求几度分秒之正馀弦,不烦取资于弧线及他弧弦矢。且每一乘除,便得一数,似可为制表之一助。

  又著象数原始一书,未竟,疾革时,嘱戴煦。后煦索稿於名达子锦标,校算增订六阅月而稿始定,都为七卷。原书之四,仅六纸,并第七卷皆煦所补也。卷一曰整分起度弦矢率论,卷二曰半分起度弦矢率论,卷三、卷四曰零分起度弦矢率论,皆以两等边三角形明其象,递加法定其数,末乃申论其算法。卷五曰诸术通诠,取新立弧弦矢求他弧弦矢二术、半径求弦矢二术及杜、董诸术,按术诠释之。卷六曰诸术明变,杂列所定弦矢求八线术,开诸乘方捷术,算律管新术,橢员求周术,以明皆从递加数转变而得。卷七曰橢员求周图解,原术以袤为径,求大员周及周较,相减而得周,补术则以广为径,求小员周,周较相加而得周,末系以图解。徐有壬巡抚江苏,邮书索煦写定本梓行,刻甫就而有壬殉难,书与板皆毁焉。

  有王大有者,字吉甫,仁和诸生。翰林院待诏。穷究天算,问业於处士戴煦。凡煦所著述,皆录副本去,名达见之,因与煦订交。大有尝校割圜捷术合编。后殉於杭州。

  丁取忠,字果臣,长沙人。研究象数,不求闻达,刻算书二十有一种,为白芙堂丛书。光绪初,卒于家,年逾七十。所自譔者为数学拾遗一卷,以所演算草较详,可便初学,又意在拾遗,故未暇详其义之出自何人。

  又譔粟布演草二卷,自序曰:“道光壬辰,余始习算,友人罗寅交学博洪宾以难题见询,久无以应。同治初元,始获交南丰吴君子登太史,驭以开屡乘方法,余始通其术,然未悉其立法之根也。后吴君游岭表,余推之他题,及辗转相求,仍多窒碍。又函询李君壬叔,蒙示以廉法表及求总率二术,而其理始显。后吴君又示以指数表及开方式表,李君复为之图解以阐其义。由是三事互求,理归一贯。余因取数题详为演草,并捷法图解,都为一卷。质之南海邹君特夫,君复为增订开屡乘方法,并另设题演草,补所未备。即算家至精之理,如圜内容各等边形,皆可借发商生息以明之,诚快事也!”

  后又譔演草补一篇,序云:“余前年与左君壬叟共辑粟布演草,原为商贾之习算者设,或一例而演数题,或一题而更数式。或用真数,或用代数。其式或横列,或直下,杂然并陈,无非欲学者比类参观,易於领悟也。乃初学习之,犹谓茫无入门处,盖商贾所习算书,大都详於文而略於式。况代数又古算术所无,宜其卒然览之而不解也。兹更拟一题附后,特仿数理精蕴借根方体例,专详於文,庶初学读之,可因文知义。算理既明,则全书各式,可涣然冰释,或兼可为习代数者之先导乎?”其乡人李锡蕃,亦以演算名。

  锡蕃,字晋夫。道光三十年早卒,著有借根方句股细草一卷,衍为二十有五术,取忠刊入丛书。

  谢家禾,字和甫,钱塘举人。与同学戴氏兄弟熙、煦相友善。少嗜西学,点线面体四部,靡不淹贯。已,复取元初诸家算书,幽探冥索,悉其秘奥。乃辑平时所得析通分加减,定方程正负,以标举立元大耍,撰演元耍义一卷。其自序云:“元学至精且邃,而求其要领,无过通分加减,凡四元之分正负,及相消法,互隐通分法,大致原於方程。方程者,即通分之义。方程不明,由於正负无定例,加减无定行,以譌传譌,如梅宣城精研数理,未暇深究,他书可知矣。九章算经正负术甚明,而释者反以意度,古谊之不明,可胜道哉!唯以衍元之法正方程之义,由是方程明而元学亦明。著演元要义,综通分方程而论列之,附以连枝同体之分等法。通乎此,则四元庶可窥其涯涘耳。”

  又以刘徽、祖冲之之率求弧田,求其密於古率者,撰弧田问率一卷。同里戴煦为之序曰:“古率径一周三,徽率刘徽所定,径五十周一百五十七也。密率乃祖冲之简率,径七周二十二也。诸书弧田术皆用古率,郭太史以二至相距四十八度,求矢亦用古法。顾徽、密二率之周既盈於古,则积亦盈於古,试设同径之圆,旁割四弧,其中两弦相得之方三率皆同,知三率圆积之盈缩,正三率弧积之盈缩也。徽、密二率弧田古无其术,惟四元玉鉴一睹其名,而设问隐晦,莫可端倪。穀堂得其旨,因依李尚之孤矢算术细草设问立术,亦足发前人所未发也。”

  又以直横与句股弦和较辗转相求,撰直积回求一卷,其自序云:“始戴谔士著句股和较集成,予亦著直积与和较求句股弦之书,然二书为义尚浅,且直积与句弦和求三事,用立方三乘方等,得数不易,而又不足以为率,其书遂不存。近见四元玉鉴直积与和较回求之法,多立二元,尝与谔士思其义蕴,有不必用二元者。盖以句弦较与句弦和相乘为股幂,股弦和与股弦较相乘为句幂,而直积自乘,即句幂股幂相乘也。如以句弦较乘股弦较幂,除直积幂,即为句弦和乘股弦和幂矣。句弦和乘股弦和幂,即弦幂和幂共内少半个黄方幂也。盖相乘幂内去一弦幂,所馀为句股相乘者一,句弦相乘者一,股弦相乘者一,此三幂合成和幂,则少一半黄方幂。半黄方幂,即句弦较股弦较相乘幂也。加一半黄方幂,即为弦幂和幂共矣。加二直积,即二和幂也。减六直积,即二较幂也。又句弦和乘股弦较幂,为句幂内少个句股较乘股弦较幂也。股弦和乘句弦较幂,为股幂内多个句股较乘句弦较幂也。减一句股较乘股弦较幂,尚馀一句股较幂矣。术中精意,皆出於此。其他之参用常法者,可不解而自明耳。草中既未暇论,恐习者不知其理,因揭其大旨於简端,见演段之不可不精也。”

  家禾殁后,戴熙搜遗稿,嘱其弟煦校雠而授诸梓。煦精算,见忠义传。著有补重差图说,句股和较集成消法简易图解,对数简法,外切密率,假数测圆,及船机图说等。

  吴嘉善,字子登,南丰人。咸丰十一年进士,改翰林院庶吉士,散馆授编修。与徐有壬同治算学。同治改元,避粤匪乱游长沙,识丁取忠。逾年,客广州,因邹伯奇又识钱塘夏鸾翔。三人志同道合,相得益彰。光绪五年,奉使法兰西,驻巴黎。后受代还,旋卒。

  所譔算书,首述笔算。次九章翼,曰今有术,曰分法,曰开方,曰平方平员各术。推演方田者,曰立方立员术,推演商功者,曰句股,曰衰分术,曰盈不足术,曰方程术。於句股术后,次附平三角、弧三角测量高远之术。又次则专述天元四元之书,为天元一术释例,为名式释例,为天元一草,为天元问答,为方程天元合释,为四元名式释例并草,为四元浅释。自序曰:“算学至今日,可谓盛矣。古义既彰,新法日出,前此所未有也。余与丁君果臣皆癖此,既忘其癖,更欲以癖导人。尝苦近世津逮初学之书无善本,梅文穆公所删之算法统宗,今亦不传。因商榷述此,取其浅近易晓,以为升高行远之助云。”

  罗士琳,字茗香,甘泉人。以监生循例贡太学,尝考取天文生。咸丰元年,恩诏徵举孝廉方正之士,郡县交荐,以老病辞。三年春,粤匪陷扬州,死之,年垂七十矣。少治经,从其舅江都秦太史恩复受举业,已乃弃去,专力步算,博览畴人书,日夕研求数年。

  初精西法,自譔言历法者曰宪法一隅。又思句股、少广相表里,而方田与商功无异,差分与均输不殊。按类相从,摘九章中之切于日用者,悉以比例驭之,汇为十二种。以各定率冠首,以借根方继后,以诸乘方开法附末,凡四卷,曰比例汇通,虽悔其少作,实便初学问途。

  后见四元玉鉴,服膺叹绝,遂壹意专精四元之术。士琳博文强识,兼综百家,於古今算法尤具神解,以朱氏此书实集算学大成,思通行发明,乃殚精一纪,步为全草,并有原书於率不通及步算传写之譌,悉为标出,补漏正误,反覆设例,申明疑义,推演订证。就原书三卷二十有四门,广为二十四卷,门各补草。

  尝为提要钩元之论,谓:“是书通体弗出九章范围,不独商功修筑、句股测望、方程正负已也。如端匹互隐、廪粟回求寓粟布,如意混和寓借衰,茭草形段、果垛叠藏,如像招数寓商功中之差分,直段求源、混积问元、明积演段、拨换截田、锁套吞容寓方田、少广诸法。他若分索隐之为约分命分,方员交错、三率究员、箭积交参之为定率兼交互。至於或问歌彖、杂范类会,以其各自为法,不能比类。故一则寄诸歌词,一则编成杂法,均似补遗。大旨皆以加、减、乘、除、开方、带分六例为问,每门必备此例,略简易而详繁难,尤於自来算书所无者,必设二问以明之。如混积问元中既设种金田及句三股四八角田为问。拨换截田中复设半种金田,锁套吞容中复设方五斜七八角田为问。又果垛叠藏两设员锥垛,杂范类会既设徽率割员,又设密率割员是矣。更有一门专明一义者,如和分索隐之分开方,三率究员两仪合辙之反覆互求是矣。是书但云如积求之,如积有用定率为同数相消者,有如问加减乘除得积为同数相消者。祖序谓:‘平水刘汝谐撰如积释锁,惜今不传。’意者其释此例欤?”

  道光中,得朱氏算学启蒙於京师厂肆,士琳复加斠诠刊布之。此书总二十门,凡二百五十九问,其名术义例多与玉鉴相表里。士琳为之互斠,始于天元,终于四元,义主精邃,所得甚深。考大德四年莫若序,计后此书四年。此书首列乘除布算诸例,始于超径等接之术,终于天元如积开方,由浅近以至通变,循序渐进,其理易知。名曰启蒙,实则为玉鉴立术之根,此一证也。玉鉴原本十行,行十九字,“今有”低一格,“术曰”又低二格,与此书同,此二证也。玉鉴斗斛之“斗”别作“貐”,此假借字,本汉书平帝纪及管子乘马篇,尚杂见于唐以前之孙子、五曹、张丘建诸算经,钧石之“石”,说文本作“柘”,玉鉴作“硕”,“硕”“石”古虽互通,然假“硕”为“石”,则仅见于毛诗甫田疏引汉书食货志,而算书罕见,又玉鉴田之“”,虽见李籍九章音义,为字书所无,此书并同,此三证也。玉鉴虽亦三卷,而门则为二十四,问则二百八十八,较多此书四门二十九问,然以四字分类,其体裁同。且如商功、修筑、方程、正负之属,则又二书互见,此四证也。玉鉴如意混和第一问,据数知一秤为十五斤,適与此书之斤秤起率合,此五证也。玉鉴锁套吞容第九问,方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十诸问,有小平小长,皆向无其术。此书卷首明乘除段,即载平除长为小长,长除平为小平之例。其田亩形段第十五问,复载方五斜七八角田求积通术,此六证也。他如玉鉴或问歌彖第四问,与此书盈不足术第七问,又玉鉴果垛叠藏第十四问,与此书堆积还原第十四问,又玉鉴方程正负第四问,与此书方程正负第五问,题皆约略相同,此七证也。知系朱氏原书佚而复出,并其算法一则,亦为附列,间有鱼豕,悉仍其旧,但各标识于误字旁,别记刊误於卷末。

  又尝以乾隆间明氏捷法校得八线对数表,一度十三分二十秒正切第五字“0”误“一”;又六度四十一分十秒正切第五字“0”误“六”;又十二度五十分正弦第六字“七”误“五”;又十六度三十二分十秒正切第七字“九”误“0”;又四十二度三十二分四秒正切第九字“五”误“四”。可见西人所能,中人亦能之。

  又因会通四元玉鉴如像招数一门,更取明氏捷法,御以天元,知密率亦可招差,其弧与弦矢互求之法,与授时历之垛积招差一一符合。且以祖氏缀术失传,其法廑见於秦书,即大衍之连环求等递减递加,亦与明氏捷法相近。爰融会诸家法意,撰缀术辑补二卷。

  又甄录古今畴人,仍阮氏体例为列传,采前传所未收者,得补遗十二人,附见五人,续补二十人,附见七人,合共四十有四人,次於前传四十六卷之后。

  集所校著都为观我生室汇十二种。如四元玉鉴细草二十四卷,释例二卷,校正算学启蒙三卷,校正割圜密率捷法四卷,续畴人传六卷,皆别有单行本。

  外已刻者尚得七种,曰句股容三事拾遗三卷,附例一卷,本绘亭监副博启法补其遗,取内容方边员径垂线交互相求,一以天元驭之。曰三角和较算例一卷,取斜平三角形中两边夹一角术镕入天元法,用和较推演成式。曰演元九式一卷,括玉鉴中进退消长诸例,借无数之数,以正负开方式入之。曰台锥积演一卷,以玉鉴茭草、果垛二门可补少广之阙,爰取台锥形段引而伸之。曰周无专鼎铭考一卷,以四分周术佐以三统汉术,推得宣王十有六年九月既望甲戌,与铭辞正合。曰弧矢算术补一卷,以元和李四香原术未备,为增补二十七术,合成四十术。曰推算日食增广新术一卷,推广正升斜升横升之算法,以求太阴随地随时之明魄方向分秒,复推其术,以求交食限内之方向,及所经历之诸边分。

  馀若春秋朔闰异同考、缀术辑补交食图说举隅、句股截积和较算例、淮南天文训存疑、博能丛话,凡若干卷,未有刻本。其同县友有易之瀚者,亦以算名。

  易之瀚,字浩川。知士琳有四元玉鉴补草,因从问难,为撰四元释例一卷。凡开方例二十九则,天元例十一则,四元例十三则。

  顾观光,字尚之,金山人。太学生,三试不售,遂无志科举,承世业为医。乡钱氏多藏书,恒假读之。博通经、传、史、子、百家,尤究极天文历算,因端竟委,能抉其所以然,而摘其不尽然。时复蹈瑕抵隙,蒐补其未备。如据周髀“笠以写天,青黄丹黑”之文及后文“凡为此图”云云,而悟篇中周径里数皆为绘图而设。天本浑员,以视法变为平员,则不得不以北极为心,而内外衡以次环之,皆为借象,而非真以平员测天也。

  开元占经鲁历积年之算不合,因用演积术,推其上元庚子至开元二年岁积,知占经少三千六十年。又以占经颛顼历岁积考之史记秦始皇本纪,知其术虽起立春,而以小雪距朔之日为断。盖秦以十月为岁首,闰在岁终,故小雪必在十月,昔人未及言也。李尚之用何承天调日法考古历日法朔馀强弱不合者十六家,以为未能推算入微。爰别立术,以日法朔馀辗转相减,以得强弱之数。但使日法在百万以上皆可求,惟朔馀过於强率者不可算耳。授时术以平定立三差求太阳盈缩,梅氏详说未明其故。读明志乃知即三色方程之法。谓凡两数升降有差,彼此递减,必得一齐同之数。引而伸之,即诸乘差,则八线、对数、小轮、橢员诸术,皆可共贯。读占经所载瞿昙悉达九执术,知回回、太西历法皆源於此。其所谓高月者即月孛,月藏者即月引数,日藏者即日引数,特称名不同,亦犹回历称岁实为宫日数,朔策为月分日数也。

  其论婺源江氏冬至权度,推刘宋大明五年十一月乙酉冬至前以壬戌丁未二日景求太阳实经度,而后求两心差,乃专用壬戌。今用丁未求得两心差,適与江氏古大今小之说相反。盖偏取一端,其根误在高冲行太疾也。西法用实朔距纬求食甚两心实相距,术繁而得数未确。改以前后两设时求食甚实引径得两心实相距,不必更资实朔,较本法为简而密矣。

  西人割圜,止知内容各等边之半为正弦,而不知外切各等边之半为正切。乃依六宗、三要、二简诸术,别立求外切各等边之正切法,以补其缺。杜德美求员周术,用员内容六边形起算,巧而降位稍迟,谓内容十等边之一边,即理分中末线之大分,距周较近。且十边形之边与周同数,不过递进一位,而大分与全分相减即得小分,则连比例各率,可以较数取之。入算尤简易,可用弧度入算,不用弧背真数。然犹虑其难记,仍不能无藉於表,因又合两法用之,则术愈简,而弧线、直线相求之理始尽。钱塘项氏割圜捷术,止有弦矢求馀线术,以为可通之割、切二线,因补其术。西人求对数,以正数屡次开方,对数屡次折半,立术繁重。李氏探原以尖锥发其覆,捷矣,而布算术犹繁。且所得者皆前后两数之较,可以造表而不可径求。戴氏简法及西人数学启蒙,又有新术,而未穷其理。乃变通以求二至九之八对数,因任意设数,立六术以御之,得数皆合。复立还原四术,并推衍为和较相求八术,为自来言对数者所未有也。又谓对数之用,莫便于八线,而西人未言其立表之根,因冥思力索,仍用诸乘方差,迎刃而解,尤晚岁造微之诣也。其它凡近时新译西术,如代数、微分、诸重学,皆有所纠正,类此。

  所著曰算賸初、续编凡二卷。曰九数存古,依九章分为九卷,而以堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圜、弧矢诸术附焉,皆采古书而分门隶之。曰九数外录,则隐括四术为对数、割圜、八线、平三角、弧三角各等面体、员锥三曲线、静重学、动重学、流质重学、天重学,凡记十篇。曰六历通考,则据占经所纪黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁积年而加以考证。曰九执历解,曰回回历解,皆就原法疏通证明之。曰推步简法,曰新历推步简法,曰五星简法,则就原术改度为百分,省迂回而归简易,盖於学实事求是,无门户异同之见,故析理甚精,而谈算为最云。其友人韩应陛,亦以表章算书显。

  应陛,字对虞,娄县人。道光二十四年举人,官内阁中书舍人。少好读周、秦诸子,为文古质简奥,非时俗所尚。既而从同里姚椿游,得望溪、惜抱相传古文义法。西人所创点、线、面、体之学,为几何原本,凡十五卷,明万历间利译止前六卷。咸丰初,英人伟烈亚力续译后九卷,海宁李壬叔写而传之。应陛反覆审订,授之剞劂,亚力以为泰西旧本弗及也。外若新译重、气、声、光诸学,应陛推极其致,往往为西人所未及云。

  左潜,字壬叔,大学士宗棠从子。补县学生。於诗、古文辞无不深造,尤明算理。长沙丁取忠引为忘年交。早卒,士林惜之。所学自大衍、天元及借根方、比例诸新法,无不贯通。且能自出己意,变其式,勘其误,作为图解,往往突过先民。尝增订徐有壬割圜缀术,既成,忽悟通分捷法析分母、分子为极小数,根同者去之,凡多项通分,顷刻立就。因演数草,为通分捷法一帙。

  所譔缀术补草四卷,自序曰:“自泰西杜德美创立割圜九术,以屡乘屡除通方圜之率,我朝明氏、董氏各为之说,而杜书之义,推阐靡遗。顾八线互求,尚无通术,未足以尽一圜之变,非明氏、董氏之智力,不能因法立以尽其变也。其能穷杜氏之义也,资於借根方;其不能广杜氏之法也,亦限於借根方。盖借根方即天元一之变术,究不如元术之巧变莫测也。是书祖杜宗明,又旁参以董氏之法,八线相求,各立一式,因式立法,因法入算。乡之不可立算者,今皆能驭之以法,即有不能立法布算者,而其式存,则能济法之穷;而度圜诸线,一以贯之矣。推其立式之由,所谓比例术,即明氏定半径为一率,所有为二率或三率之法也。所谓还原术,即明氏弧背求正矢,又以正矢求弧背之法也。所谓借径术,即明氏借十分全弧通弦率数求百分全弧通弦率数,求千分全弧通弦率数诸法也。所谓商除法,又即还原术之变法。是故缀术胎于明氏,而又足以尽明氏之变。明氏之未立式者,以借根方取两等数,其分母、分子杂糅繁重,既不可通,其多号、少号,辗转互变,又不可约。试取明氏书驭之以缀术,其递降各率,顷刻可求。则是书也,其真能因法立法,别树帜於明、董之后者欤?书为徐君青先生所作,吴君子登成之,顾详於式而略於草。敬考其立法之原,不可遽得,学者难焉,潜因於暇日为补草四卷,因缀数语於简端云。”

  又譔缀术释明二卷,湘乡曾纪鸿为之序,略曰:“易系云:‘极其数遂定天下之象。’则综天下难定之象以归有定,莫数若矣。在昔圣神,制器尚象,利物前民,於数理必有究极精微,范围后世者,代久年湮,渐至失传。近三百年,泰西犹能推阐古法,而中国才智之士,或反率其成辙。孔子曰:‘天子失官,学在四夷。’正今日数学之谓也。中国旧有弧矢算术,而未标角度八线钤表,则虽有用其理以入算者,而无表可检。则每求一数,必百倍其功,而所得数仍非密率。明代译出泰西八线表及八线对数表,覈其立法得数之原,甚属繁难,而成表之后,一劳永逸。大至无外,细及极微,莫不以此表测之,则其用之广大可想。然得表之后,虽无事於再求,而任举一数,无从较其讹误。若仍用旧术,则非币月经旬,不能得一数,此明静菴、董方立推演杜德美弧矢捷术之所以可贵也。向来求八线者,例用六宗、三耍、二简各法,若任言一弧,必不能考其弦矢诸数。至杜氏创立屡乘屡除之法,则但有弧径,而八线均可求。董方立解杜术,先取其线之极微者,令与与弧线合,而后用连比例以推至极大。又考诸率数与尖锥理相合,故用尖锥以释弧矢,而弧矢之数理以显。明静菴解杜术,先取四分弧与十分弧之通弦直线之极大者,用连比例以推至千分、万分弧通弦之极微者,考其乘除之率数,与杜术乘除之原理合,故用缀术以释弧矢,而弧矢之数理亦出。董、明二氏,均为弧矢不祧之宗,无庸轩轾。迩百年中继起者,如戴、徐、李三氏所著书,虽自出心裁,要皆奉董、明为师资也。吾友左君壬叟,於数学尤孜孜不倦,遇有疑难,必穷力追索,务洞澈其奥{穴交}。尝谓方员之理,乃天地自然之数,吾之宗中宗西,不必分畛域,直以为自得新法也可。曾释君青徐氏缀术,又释戴鄂士求表捷术,兹又释明静菴弧矢捷术,而一贯以天元寄分之式,於员率一道三致意焉,可谓勤矣。孰意天厄良才,壬叟竟於甲戌秋不永年而逝,凡在同人,无不叹惜!况余与之为两世神交,安能无怆切耶!”

  曾纪鸿,字栗诚,大学士国藩少子。恩赏举人。早卒。纪鸿少年好学,与兄纪泽并精算术,尤神明於西人代数术。锐思勇进,创立新法,同辈多心折焉。谓大衍求一术亦可以代数推求,依题演之,理正相通,撰对数详解五卷,始明代数之理,为不知代数者开其先路。中言对数之理,末言对数之用,明作书之本意。其於常对、讷对,辨析分明。先求得各真数之讷对,复以对数根乘之,即为常对数。级数朗然,有条不紊,虽初学循序渐进,无不可相说以解焉。

  夏鸾翔,字紫笙,钱塘人。以输饷议叙,得詹事府主簿。为项梅侣入室弟子。讲究曲线诸术,洞悉员出于方之理。汇通各法,推演以尽其变,譔洞方术图解二卷,自序略曰:“自杜氏术出,而求弦矢得捷径焉。顾犹烦乘除,演算终不易,思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏,客都门,细思连比例术者,尖堆底也。尖堆底之比例,与诸乘方之比例等。以之求连比例术,必合诸乘方积而并求之。设不得诸乘方积递差之故,方积何能并求?且并求方积而欲以加减代乘除,又必得诸较自然之数而后可,诚极难矣。既而悟曰,方积之递加,加以较也。较之递生,生於三角堆也。较加较而成积,亦较加较而成较。且诸乘方积之数与诸乘尖堆之数,数异而理同。三角堆起於三角形,故屡次增乘,皆增以三角。方积起於正方形,故累次增乘,皆增以正方。三角之较数,增一根则增一较;方积之较数,增一乘则增一较,理正同也。累次相较,较必有尽,惟其有尽,乃可入算。相连诸弦矢所以愈相较而较愈均者,正此理矣。诸较之理,皆起於天元一,而生於根差。递加根一,诸乘方根差皆一。一乘之数不变,故可省乘。若增其根差,非复单一,则乘不能省。弦矢弧背之差,或一秒,或十秒,即以一秒、十秒弧线当根差,按根递求,即可尽得诸乘方之较。以较加较,即尽得所求弦矢各数矣,岂不捷哉!爰演为求弦矢术,俾求表者得以加减代乘除。并细绎立术之义,以俟精於术数者采择。”

  又譔致曲术一卷,曰平员,曰橢员,曰抛物线,曰双曲线,曰摆线,曰对数曲线,曰螺线,凡七类。类皆自定新术,参差并列,法密理精。复著致曲图解一卷,谓天为大员,天之赋物,莫不以员。顾员虽一名,形乃万类。循员一匝,而曲线生焉。西人以线所生之次数分为诸类,一次式为直线;二次式有平员、橢员、抛物线、双曲线四式;三次式有八十种;四次式有五千馀种;五次以上,殆难以数计矣。今但二次式四种,溯其本源,并附解诸乘方。抛物线形虽万殊,理实一贯。诸曲线式备具於员锥体,员锥者,二次曲线之母也。橢员利用聚,抛物线利用远,双曲线利用散,其理皆出於平员。苟会其通,则制器尚象,仰观俯察,为用无穷矣。今为一一解之,其目为诸曲线始於一点终於一点第一,诸式之心第二,准线第三,规线第四,横直二径第五,兑径亦名相属二径第六,两心差第七,法线切线第八,斜规线又名曲率径第九,纵横线式第十,诸式互为比例第十一,八线第十二。

  又尝立捷术以开各乘方,不论益积、翻积,通为一术,俱为坦途,可径求平方根数十位,成少广縋凿一卷。

  鸾翔同治三年卒。因方积之较而悟求求弦矢之术,骎骎乎驾西人而上之,然微分所弃之常数,犹方积之方与隅也。所求之变数,犹两廉递加之较也。其术施之曲线,无所不通,鸾翔犹待逐类立术,是则不能不让西人以独步。然西法开方,自三次式以上,皆枝枝节节为之,不及中法之一贯。鸾翔又於中法外独创捷术,非西人所能望其项背云。

  邹伯奇,字特夫,南海诸生。聪敏绝世,覃思声音文字度数之源。尤精天文历算,能薈萃中、西之说而贯通之,静极生明,多具神解。尝作春秋经传日月考,谓:“昔人考春秋者多矣,类以经、传日月求之,未能精确。今以时宪术上推二百四十二年之朔闰及食限,然后以经、传所书,质其合否,乃知有经误、传误及术误之分。”又谓:“尚书克殷年月,郑玄据乾凿度,以入戊午蔀四十二年克殷,下至春秋,凡三百四十八年。刘歆三统术以为积四百年,近人钱塘李锐皆主其说。今以时宪术上推,且以岁星验之,始知郑是刘非。”其解孟子“由周而来,七百有馀岁”句,谓阎百诗孟子生卒年月考据大事记及通鉴纲目,以孟子致为臣而归在周赧王元年丁未,逆数至武王有天下,岁在己卯,当得八百有九年。然周共和以上年数,史迁已不能纪,可考者鲁世家耳,此为刘歆历谱所据。然将歆谱与史记比对,歆於炀公、献公等年分多所加,共计五十二。若减其所加,则歆所谓八百有九年者,实七百五十七年耳。

  又谓向来注经者,於算学不尽精通,故解三礼制度多疏失,因作深衣考,以订江永之谬。作戈戟考,以指程瑶田之疏。以文选景福殿赋“阳马承阿”证古宫室阿栋之制。以体积论樐氏为量,以重心论悬磬之形,皆绘图立说,援引详明。

  又尝谓群经注疏引算术未能简要,甄鸾五经算术既多疏略,王伯厚六经天文篇博引传注,亦无辨证。因即经义中有关於天文、算术,为先儒所未发,或发而未阐明者,随时录出,成学计一得二卷。

  天象著甲寅恒星表、赤道星图、黄道星图各一卷,自序略曰:“甲寅春,制浑球,以考证经史恒星出没历代岁差之故。然制器必先绘图,绘图必先立表,此恒星表之所由作也。史、汉、晋、隋诸志,於恒星但言部位,至唐、宋始略有去极度数,盖旧传新图,大抵据步天歌意想为之,与天象不符。国朝康熙初,南怀仁作灵台仪象志,然后黄、赤经、纬各列为表。乾隆九年,增修仪象考成,补正缺误。道光甲辰,再加考测,为仪象考成续编,入表正座一千四百四十九星,外增一千七百九十一星,洵为明备。今逾十载,岁渐有差,故复据现时推测立表,庶绘图制器密合天行也。”

  又谓:“绘地难於算天,天文可坐而推,地理必须亲历。近人不知古法,故疏舛失实。因考求地理沿革,为历代地图,以补史书地志之缺。”

  又手摹皇舆全图,自序略曰:“地图以天度画方,至当不易。地球经纬相交皆正角,而世传舆图,至边地竟成斜方形,殊失绘图原理,其蔽在以纬度为直线也。昔尝为小总图,依浑盖仪,用半度切线,以显迹象。然州县不备,且内密外疏,容与实数不符,故复为此图。其格纬度无盈缩,而经度渐狭,相视皆为半径与馀弦之比例。横九幅,纵十一幅,合成地球滂沱四颓之形,欲使所绘之图与地相肖也。

  又变西人之旧,作地球正变两面全图,其序略曰:“地形浑员,上应天度,经纬皆为员线。作图者绘浑於平,须用法调剂,方不失其形似。然视法有三,其一在员外视员,法用正弦,则经圈为橢员,纬圈为直线,其形中广旁狭,作简平仪用之。其一在员心视员,法用正切,则经圈为直线,纬圈为弧线,其形中曲旁杀,内密外疏,作日晷用之。斯二者,线无定式,量算繁难。且经纬相交,不成正角。其边际或太促褊,或太展长,以画地球,既昧方斜本形,复失修广实数,所不取也。其一在员周视员,法用半切线,经纬圈皆为平员,虽亦内密外疏,而各能自相比例,西人以此作浑盖仪,最为理精法密。今本之为地球图,分正背两面。正面以京师为中线,其背面之中,即为京师对冲之处,尊首都也。旁分二十四向,审中土与各国彼此之势,定准望也。经纬俱以十度为一格,设分率也。”

  因推演其法,著测量备要四卷,分备物致用、按度考数二题。备物致用其目四:一丈量器,曰插标、曰线架、曰指南尺、曰曲尺、曰丈竹、曰竹筹、曰皮活尺、曰蕃纸簿、曰铅笔;二测望仪,曰指南分率尺、曰立望表、曰三脚架、曰矩尺、曰地平经仪、曰平水准、曰纪限仪、曰回光环、曰折照玻璃屋、曰千里镜、曰象限仪、曰秒分时辰标、曰行海时辰标、曰析分大日晷、日风雨针、曰寒暑针;三检覈书,曰志书、曰地图、曰星表、曰星图、曰度算版、曰对数尺、曰八线表、曰八线对数表、曰十进对数表,曰现年行海通书、曰清蒙气差表、曰太阳纬度表、曰日晷时差表、曰句陈四游表、曰大星经纬表、曰对数较表、曰对数较差表;四画图具,曰大小幅纸、曰砚、曰墨、曰朱、曰颜色料、曰笔、曰五色铅笔、曰笔壳、曰指南分率矩尺、曰长短界尺、曰平行尺、曰分微尺、曰机翦、曰交连比例规、曰玻璃片、曰橡皮。

  按度考数其目四:一明数,曰尺度考、曰亩法、曰里法、曰方向法、曰经纬里数;二步量,曰量田计积、曰步地远近、曰记方向曲折、曰认山形、曰准望所见;三测算,曰测量方向远近法、曰测地纬度法、曰论平阳大海地平界角、曰测地经度法、曰经纬方向里数互求法;四布图,曰正纸幅、曰定分率、曰缩展、曰识别设色。

  又因修改对数表之根求析小术,是开极多乘方法,可径求自然对数,即讷对数,以十进对数根乘之即得十进对数,著乘方捷术三卷。

  又创对数尺,盖因西人对数表而变通其用,画数於两尺,相并而伸缩之,使原有两数相对,而今有数即对所求数。一曰形制,二曰界画,三曰致用,四曰诸善,五曰图式,为记一卷。

  又尝撰格术补一卷,同郡陈澧序之,略曰:“格术补者,古算家有格术,久亡,而吾友邹徵君特夫补之也。格术之名,见梦溪笔谈,其说云:‘阳燧照物,迫之则正,渐远则无所见,过此则倒,中间有碍故也。如人摇舻,臬为之碍,本末相格,算家谓之格术。’又云:‘阳燧面洼,向日照之,则光聚向内,离镜一二寸,聚为一点,著物火发。’笔谈之说,皆格术之根源也。宋以前盖有推演为算书者,后世失传,遂无有知此术者。徵君得笔谈之说,观日光之景,推求数理,穷极微眇,知西人制镜之法皆出於此。乃为书一卷,以补古算家之术。盖古所谓阳燧者,铸金以为镜也,西洋铁镜,即阳燧,玻璃为镜,亦同此理。故推阳燧之理,可以贯而通之。有此书而古算家失传之法复明,可知西人制器之法,实古算家所有,此今世之奇书也。至若古算失传,如此者当复不少,吾又因此而感慨系之矣!”

  同治三年,郭嵩焘特疏荐之,坚以疾辞。曾国藩督两江日,欲以上海机器局旁设书院,延伯奇以数学教授生徒,亦未就。八年五月,卒,年五十有一。

  李善兰,字壬叔,海宁人。诸生。从陈奂受经,於算术好之独深。十岁即通九章,后得测圆海镜、句股割圜记,学益进。疑割圜法非自然,精思得其理。尝谓道有一贯,艺亦然。测圆海镜每题皆有法有草,法者,本题之法也;草者,用立天元一曲折以求本题之法,乃造法之法,法之源也。算术大至躔离交食,细至米盐琐碎,其法至繁,以立天元一演之,莫不能得其法。故立天元一者,算学中之一贯也。并时明算如钱塘戴煦,南汇张文虎,乌程徐有壬、汪曰桢,归安张福僖,皆相友善。咸丰初,客上海,识英吉利伟烈亚力、艾约瑟、韦廉臣三人,伟烈亚力精天算,通华言。善兰以欧几里几何原本十三卷、续二卷,明时译得六卷,因与伟烈亚力同译后九卷,西士精通几何者鲜,其第十卷尤玄奥,未易解,譌夺甚多,善兰笔受时,辄以意匡补。译成,伟烈亚力叹曰:“西士他日欲得善本,当求诸中国也!”

  伟烈亚力又言美国天算名家罗密士尝取代数、微分、积分合为一书,分款设题,较若列眉,复与善兰同译之,名曰代微积拾级十八卷。代数变天元、四元,别为新法,微分、积分二术,又借径於代数,实中土未有之奇秘。善兰随体剖析自然,得力於海镜为多。

  粤匪陷吴、越,依曾国藩军中。同治七年,用巡抚郭嵩焘荐,徵入同文馆,充算学总教习、总理衙门章京,授户部郎中、三品卿衔。课同文馆生以海镜,而以代数演之,合中、西为一法,成就甚众。光绪十年,卒於官,年垂七十。

  善兰聪彊绝人,其於算,能执理之至简,驭数至繁,故衍之无不可通之数,抉之即无不可穷之理。所著则古昔斋算学,详艺文志。世谓梅文鼎悟借根之出天元,善兰能变四元而为代数,盖梅氏后一人云。

  华衡芳,字若汀,金匮人。能文善算,著有行素轩算学行世。其笔谈一书,犹为生平精力所聚。凡十二卷,第一卷论加、减、乘、除之理;第二卷论通分之理;第三卷论十分数;第四卷论开方之理;第五卷论看题、驭题之法,以明加、减、乘、除、通分、开方之用;第六卷论天元及天元开方;第七卷论方程之术,已寓四元之意,末乃专论四元;第八卷论代数释号及等式;第九卷论代数中助变之数及虚代之法;第十卷论微分;第十一卷论积分,分十六款以明之;第十二卷一论各种算学不外乎加、减、乘、除,二论一切算稿宜笔之於书,三论算学中可以著书之事,四论学算与著书并非两事,五论繙算学之书,六论畴人传当再续。综计自加、减、乘、除、通分以至微分、积分,由浅入深,术本繁难,而括之以简易之旨;理本艰深,而写之以浅显之词。

  又於同治十三年,与英士傅兰雅共译代数术二十五卷,衡芳序之曰:“代数之术,其已知、未知之数,皆代之以字,而乘、除、加、减各有记号,以为区别,可如题之曲折以相赴。迨夫层累已明,阶级已见,乃以所代之数入之,而所求之数出焉。故可以省算学之工,而心亦较逸,以其可不假思索而得也。虽然,代数之术诚简便矣,试问工此术者,遂能不病其繁乎?则又不能也。夫人之用心,日进而不已,苟不至昏眊迷乱,必不肯终辍。故始则因繁而求简,及其既简也,必更进焉,而复遇其繁,虽迭代数十次,其能免哉?自是知代数之意,乃为数学中钩深索隐之用,非为浅近之算法设也。若米盐零杂之事,而概欲以代数施之,未有不为市侩所笑者也。至於代数、天元之异同优劣,读此书者自能知之,无待余言也。”

  又与傅兰雅共译微积溯源八卷,序之曰:“吾以为古时之算法,惟有加、减而已。其乘与除乃因加减之不胜其繁,故更立二术以使之简易也。开方之法,又所以济除法之穷者也。盖学算者自有加、减、乘、除、开方五法,而一切简易浅近之数,无不可通矣。惟人之心思智虑日出不穷,往往以能人之所不能者为快,遇有窒碍难通之处,辄思立法以济其穷,故有减其所不可减,而正负之名不得不立矣;除其所不受除,而寄母通分之法又不得不立矣。代数中种种记号之法,皆出於不得已而立者也。惟每立一法,必能使繁者为简,难者为易,迟者为速,而算学之境界,藉此得更进一层。如是屡进不已,而所立之法,於是乎日多矣。微分、积分者,盖又因乘、除、开方之不胜其繁,且有窒碍难通之处,故更立此二术以济其穷,又使简易而速者也。试观圜径求周、真数求对数之事,虽无微分、积分之时,亦未尝不可求,惟须乘、除、开方数十百次,其难有不可言喻者。不如用微积之法,理明而数捷也。然则谓加、减、乘、除、代数之外,更有二术焉,一曰微分,一曰积分可也。其积分犹微分之还原,犹之开方为自乘之还原,除法为乘法之还原,减法为加法之还原也。然加与乘,其原无不可还,而微分之原,有可还有不可还者,是犹算式中有不可还原之方耳,又何怪焉!如必曰加减乘除开方已足供吾之用,何必更求其精?是舍舟车之便利,而必欲负重远行也。其用力多而成功少,盖不待智者而辨矣。又代数术中末卷之中,载求平员周率简捷法式,为犹拉所设。未有此法之时,曾有算学士固灵用平员内容外切之多等边形,费极大工夫,算得三十六位之数。设径为一,周为三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三三八三二七九五零二八八。其临死之时,嘱其家以此数刻於墓碑,盖平时得意之作,恐其磨灭,故欲传之永久,亦犹亚基默得之墓,刻一球形与员柱形也。”

  又与傅氏共译三角数理,此书为英士海麻士所譔。海麻士专精三角、八线之学,著书十有二卷,皆言三角数理,即用为名。首明三角用比例之理;次论两角或多角诸比例数;次论造八线比例表之法;次解平三角诸形;次论诸角比例乘约变化之理;纪彼国算士棣弗美创例也,附以专论对数术及诸三角形设题一百则,为书三卷,以引学者;次总说球上各圈及弧三角形之界;次解正弧斜弧三角形之法;次杂论求弧三角数种特设之表;终以弧三角形设题二十七则焉。然书中说解过於烦费,仍不能变外角和较与垂弧、次形、总较诸旧法,故自海氏书出,益觉徐有壬拾遗三术难能可贵,超越西人。

  又与傅氏共译代数难题解法十六卷。

  其弟世芳,字若溪。亦通算术,著有近代畴人著述记。